笛沙格定理的推广 笛沙格定理
笛沙格定理的推广 笛沙格定理
笛沙格(1591—1661)法国数学家。射影几何学创始人之一,人们以他的名字命名的定理为:平面上有两个三角形,它们的对应顶点的连线交于一点,如果对应边或其延长线相交,则这三个交点共线,反之亦成立。两个三角形的对应顶点可以交于一点,但对应边或其延长线不一定相交,即有的平行,此定理是指如果相交,则三个交点共线。
如图,△ABC和△DEF,(与三角形的位置无关系,只要满足条件)对应顶点A和D,B和E,C和F相交于点O,AB,DE相交于P,AC,DF相交于Q,BC,EF相交于R,求证:P、Q、R三点共线。
分析:定理的证明,还是要用证三点共线的利器:梅毁涅劳斯定理(劳斯定理)来证明。那就要正确选择“梅氏”三角形,从结论来分析,若PQR为截线,可选择△ABC为“梅氏三角形”,这样就要证明:
这就要求我们把AP∶PB,BR∶CR,CQ∶QA建立比例式来证明上式成立,经过分析, AP∶PB,可选择△ABO作“梅氏三角形”,PED作“梅氏直线”来建立比例式;BR∶CR可选择△BCO,作“梅氏三角形”, EFR作“梅氏直线”来建立比例式;CQ∶QA可选择△CAO作“梅氏三角形”, QFD作“梅氏直线”。来建立比例式。
∵RFE分别交△BCO的边BC于R(R点分BC的两条线段为BR,CR);CO于F(F分CO的两条线段是CF, FO),OB于E(E点分OB的两条线段是OE,EB),∴
QFD分别交△CAO的CA于Q、AO于D、OC于F,∴
∵P、Q、R分别截AB于P,BC于R,CA于Q
∴由梅氏定理得:P、Q、R三点共线。
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