​「数学干货」牟合方盖你知道吗

「数学干货」牟合方盖你知道吗

【2019年上海徐汇区一模14题】

☆ 什么是“牟合方盖”

1700多年前，公元3世纪，在那个π还代表着国家数学发展水平的年代（就像如今素数的研究代表了一个国家的数学水平），刘徽不仅算出了3.14（徽率），还准备算球的体积，为了算出球的体积，他想象出了一个东西——牟合方盖按照刘徽的想象，当两个底面直径相同的圆柱垂直相交时，它们的交集产生了一种特殊的几何体，刘徽称之为“牟合方盖”，如下图所示：

☆ 牟合方盖与正方体、球的关系

如果把牟合方盖放入一个边长等于圆柱直径的正方体，它的上下两个顶点，和侧面四个曲面，是刚好和正方体的六个面相接或相切的。而牟合方盖与正方体的内切球也是刚好相切的，如下图所示:

下面是牟合方盖的三视图：

下面是同一个正方体内球的三视图：

若以一个平行于正方体上下底面的平面，同时截“牟合方盖”与内切球，截面为一个正方形和圆形，且该正方形边长等于圆形的直径，所以正方形与圆形的面积之比为4：π，如下图所示：

因此，刘徽发现，牟合方盖的体积与相应内切球的体积之比也应是4：π，到这里，实际上已经接近了积分学中以意大利数学家命名的“卡瓦列里定理”，可惜的是，他没能算出牟合方盖的体积，以至于最终没能得出球的体积公式。

☆ 牟合方盖的体积

在大概160年以后，祖氏父子横空出世，提出"幂势既同则积不容异"，即等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等，这就是著名的祖暅原理。祖冲之更厉害，不仅首次把π精确到小数点后第7位（祖率），并且保持该项世界纪录近1000年。祖氏利用祖暅原理，最终算出牟合方盖的体积，并最终得到球的体积公式。当然，更厉害的人物是阿基米德，他早于刘徽大约500年就得出球的体积公式，也得出π=3.14。言归正传，下面是牟合方盖的体积计算方法：

上面右图是一个正方体挖去了两个四棱锥（这两个四棱锥分别以上下底面为底面，以正方体的中心为顶点），设正方体边长为2r。以平行于底面的平面同时截“牟合方盖”和“右图的几何体”，所得截面如上图所示。

左图的截面是一个正方形，设中心到截面的距离为h，可得该正方形边长为2√r²-h²，所以左图的截面面积为4（r²-h²）

右图的截面像一个正方环形，面积是大正方形的面积减去小正方形的面积，边长为2r，所以大正方形面积为4r²，同样设中心到截面的距离为h，可知小正方形的边长为2h，所以小正方形的面积为4h²，即截面面积为4r²-4h²。

由上可知，两几何体在同一水平位置的截面面积相等，根据祖暅原理，它们的体积相等，右图的体积等于正方体的体积减去两个四棱锥的体积，根据锥的体积公式可知，两个锥的体积之和为正方体体积的1/3，所以该几何体的体积为正方体体积的2/3，即“牟合方盖”的体积为正方体体积的2/3，正方体体积为8r³，所以最终，“牟合方盖”的体积为16r³/3。

结合刘徽得出的结论，“牟合方盖”的体积与内切球的体积之比为4：π，由此得出，球的体积为4πr³/3。

☆ 结语

“牟合方盖”的提出，充分体现了古人丰富的想象能力，以及为解决问题建立模型的智慧。祖氏父子应用这个原理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利(BonaventuraCavalier)发现，比祖暅晚一千一百多年。刘徽是1700多年前的人，祖氏父子是1500多年前的人，阿基米德更是2200年前的人，以千年前的社会知识水平，就在思考这种问题，简直令人叹为观止，这种智慧的光芒，震古烁今，光耀寰宇。

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