​什么是计算数学？

除了收敛性这一核心问题，计算数学还有其他两个核心问题：稳定性和高效率。计算机是不能准确表达所有的数的。比如，，储存在计算机里的是0.3333333333333……，到底给出多少个小数点，那就要看你的计算机是怎么设计的。现在的计算机，不能准确表达无理数，也不能准确表达，,等，一般可以保留十几位有效数字。被截断的部分，就是“截断误差”。当今的计算机里，“截断误差”通常可以小到，似乎微不足道。但是问题在于，很多算法，都要在计算机上重复运算成千上万次。假设有一个算法，它在计算机上的每一次运算，都把误差放大1%，这看似微不足道的放大，似乎无害，但是运算1万次后，误差就被放大了倍，原来微不足道的的截断误差，现在就被放大成了，这可是个天文数字啊！这样的误差，把所有真解的影子全都埋没了，那还了得！正所谓“差之毫厘，谬以千里”。

这就涉及“稳定”，一个好的算法是不允许把误差不断放大的。

效率的问题可以简单地描述如下。如果有两个算法，一个A，一个B，都能达到误差不超过1%的要求，但在同一台机器上，A要花两天才能算出结果，而B只要两小时就能给出同样的结果。我们喜欢哪一个呢？当然是B。这就是计算方法中不可忽视的问题，叫作算法的效率。

当今计算数学的一个重点研究方向，就是找到“高效”算法。

总而言之，科学计算的物质基础是计算机，但关键软实力是“计算方法”。计算方法是计算数学的核心，其三要素是收敛、稳定、高效。

回过头来从历史发展的角度看，科学计算和计算数学发展的重要推动力是核武器研制的刺激。

美国从1942年6月开始实施“曼哈顿计划”，到1945年制造出3颗原子弹：代号分别为“瘦子”（用于试验，7月16日）、“小男孩”（投于广岛，8月6日)、“胖子”（投于长崎，8月9日)。历时3年，涉及理论物理、爆轰物理、中子物理、金属物理、弹体弹道等大量的数值计算。

在设计原子弹的过程中，几位20世纪最优秀的应用数学家都参与了其“算法”的研究，包括本书后面将多次提到的理查德·柯朗、冯·诺依曼、拉克斯。

柯朗是德裔美籍数学家，以其名字命名的纽约大学柯朗数学科学研究所是当今全球排名第一的应用数学研究所。1907年，柯朗成为当时世界数学中心哥廷根数学学派的掌门人大卫·希尔伯特的助手。1924年，柯朗在哥廷根筹建数学研究所，研究所于1929年成立并由柯朗任所长。1934年，柯朗来到美国，成为纽约大学教授，领导了应用数学小组，参与洛斯阿拉莫斯导弹基地的计算数学研究，这个小组后来发展为数学和力学研究所，并于1964年改名为柯朗数学科学研究所。柯朗数学科学研究所拥有20多名美国国家科学院院士和美国国家工程院院士，4名美国国家科学奖章获得者，4名阿贝尔数学奖获得者，这些耀眼的数字超过美国的任何其他数学机构。

除了出色的组织才能，柯朗还有让世人称道的数学成就。他与希尔伯特共同撰写了极有影响力的教科书《数学物理方法》，此书问世80多年后仍然享誉全球，被众多名校采纳为理工科必修教材。他与哈佛大学著名拓扑学家赫伯特·鲁宾斯合著的数学名著《什么是数学》，被翻译成了多国文字，现在仍在全球被不断印刷。他在双曲型偏微分方程、水下声学、爆炸理论等应用数学方面都有着非常重要的贡献。后面还会专门提到，他是提出有限元方法的第一人。

这里要重点提一下冯·诺依曼，“现代计算数学”的主要奠基人。他是公认的天才里面的天才，虽然没有什么诺贝尔奖之类的虚名，但那些获了诺奖的看到他还是要礼让三分的，他所干的，比如创立计算机原理，创立博弈论，创立冯·诺依曼代数，制造核武器，都是惊天动地的大事。关于他的传说有很多，比如说他6岁时能心算8位数除法，8岁时已掌握了微积分，12岁时能读波莱尔的著作《函数论》。有一次，冯·诺依曼对他的朋友说：“我能背诵《双城记》。”朋友就挑了几章做测试，果然如冯·诺依曼所言。

在50多年人生里，他做过美国数学学会主席，做过总统科学顾问，在1957年弥留之际，美国国防部正副部长、陆海空三军总司令以及其他军政要员齐聚在其病榻前，聆听他最后的建议和非凡的洞见。

在历史上，许多民族的数学家都创造了各种便捷的数值计算方法，可是，这些古典的方法对于计算机未必是最优的，而一些看起来在算法上极为复杂的方法，编制为程序后反而容易在计算机上实现。换句话说，计算机有其适合的计算方法和技巧。在这方面，冯·诺依曼做出了许多重要贡献，他先后创造了矩阵特征值计算、求逆和随机数产生等十来种计算技巧，在工业部门和政府计划工作中得到广泛的应用。20世纪40年代，在制造核武器的过程中，他与奥地利出生的美国数学家尤拉姆合作创造了著名的蒙特卡罗方法。这是一种通过人工抽样寻求问题近似解的方法，它将需要求解的数学问题化为概率模型，在计算机上实现随机模拟获得近似解。

蒙特卡罗方法充分体现了计算机处理大量随机数据的能力，是计算机时代新型算法的先锋。它在解决实际问题时需要分两步：模拟产生各种概率分布的随机变量；用统计方法把模型的数字特征估计出来，从而得到实际问题的数值解。这一方法在金融工程学、宏观经济学、生物医学、计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算）等领域应用广泛。比如金融衍生产品的定价及交易风险估算，变量的个数（维数）有时高达数百甚至上千，这就是所谓“维数的灾难”。传统方法对此大都束手无策，而蒙特卡罗方法可以给出合理的解决方案。蒙特卡罗方法的优点在于，它的计算复杂性不依赖于维数，所以具有强大的生命力。

还是在同一时期，冯·诺依曼提出了非常有名的诺依曼数值稳定性分析。这个当今计算数学本科生都晓得的理论，在当时被美国军方列为高度军事机密，保密期长达十年。这个“稳定性”分析就是上面所谈的计算数学的核心之一。

既能设计计算方法，又能给出稳定性理论，可以说冯·诺依曼是现代计算数学领域的重要奠基人。

现代计算数学的另一个奠基人、本书后面常提到的重要人物就是拉克斯。他是本书的主人公冯康非常佩服的一位大学者。

拉克斯是匈牙利裔美国数学家，1926年出生于匈牙利布达佩斯，为了逃避纳粹迫害，15岁随家人避居美国。1944年参军，曾接受过工程训练。1945年到洛斯阿拉莫斯国家实验室工作，并得益于冯·诺依曼的指导。1949年于纽约大学获博士学位，其后又在洛斯阿拉莫斯国家实验室工作一年。1951年他任纽约大学助理教授，之后50年一直任教于纽约大学数学研究所。1963年任柯朗数学科学研究所计算及应用数学中心主任，1972年到1980年任柯朗数学科学研究所所长。他是美国国家科学院院士，1986年获得美国国家科学奖，1987年获沃尔夫数学奖，2005年获得阿贝尔奖。

拉克斯在纯数学及应用数学方面均做出了巨大贡献。他的主要研究领域为偏微分方程、散射理论、泛函分析、流体力学以及计算数学。他在奇异积分算子、伪微分算子和傅立叶积分算子研究中做了重要工作，他关于散射理论的研究开辟了这一领域的新前景。拉克斯最有影响的是非线性双曲型方程及激波理论的突破性工作，拉克斯激波条件、拉克斯熵条件、拉克斯弗里德里希斯格式、拉克斯-温德若夫格式在激波理论和激波计算中做出了决定性的贡献。另外，拉克斯对KdV方程的独特眼光大大推动了孤立子问题的研究。

弗里德里希斯是柯朗的学生、拉克斯的导师，他在有限差分方法、有限元方法等重要计算数学研究方向都做了奠基性的工作。弗里德里希斯曾任柯朗数学科学研究所所长，获得过美国最高科学奖—国家科学奖章。弗里德里希斯是柯朗数学科学研究所的三名创始人之一，并在这个研究所工作了大半辈子。

特别值得指出的是，现在计算数学教科书里面的拉克斯等价性定理，奠定了偏微分方程差分方法的“收敛性”理论基础，他创立的拉克斯-密格拉蒙定理是线性泛函分析的基本定理之一，在有限元方法收敛性理论方面起着最基本的作用。

冯·诺依曼对计算数学稳定性的开创性工作，拉克斯对收敛性的奠基性工作，筑牢了计算数学这座大厦的根基。

前几年接受采访时，对冯·诺依曼推崇备至的拉克斯充满感情地说：“如果冯·诺依曼活得长一点，他肯定可以获得数学的阿贝尔奖，诺贝尔经济学奖，计算机的大奖，量子力学的诺贝尔物理学奖，等等。”“原子弹不能通过试错的办法来制造，每个设计方案都必须有理论上的测试。这就需要求解非线性可压流体方程组。冯·诺依曼意识到解析方法在此是无能为力的，解决连续力学问题的唯一途径就是离散方程并求出数值解。数值求解的工具必须包含高速的可编程的电子计算机、大型存储器、编程语言、微分方程离散的稳定性理论以及众多的快速求解离散方程组的程序。二战后冯·诺依曼所花费的主要精力就是解决这些问题。他充分认识到计算方法不仅对制造核武器至关重要，而且对众多的科学和工程问题也非常重要。”

中国现代计算的开篇

最早推动中国计算数学发展的是华罗庚。华罗庚在中国可谓家喻户晓。1931年，他以初中学历被熊庆来邀请到清华大学做助理员，旋即升为助教和教员，其后更是被推荐至剑桥大学访问大数学家哈代，归国后直接被西南联大聘为教授。

1940年3月4日，华罗庚鼓足勇气给时任国民政府教育部部长的陈立夫写信，阐明了他对基础科学和应用科学的看法。华罗庚认为对于国家建设，需“标本兼治”。治标所依赖的是应用科学，治本则需依赖纯粹科学。因此他积极呼吁成立纯粹科学（主要是指数学）的研究所。不久，陈立夫回信称教育部对应用科学和纯粹科学向来主张兼筹并顾。

1944年1月15日，华罗庚给陈立夫写了第二封信。华罗庚在信中提到他解决了俞大维数学难题的事情（据说是破译密码）。俞大维出生于浙江绍兴的名门，家族中才俊辈出。他自己是哈佛大学博士，1926年在德国《数学年刊》（Mathematische Annalen）上发表了数理逻辑论文，是首个在这本著名刊物上发表论文的中国人，华罗庚则是第二个。华罗庚解决了俞大维的密码难题，使他认识到数学对国防也能有具体的贡献。

过了两个月，华罗庚于3月17日又给陈立夫写了第三封信，他从国防出发，直言数值计算的重要性：“盖就国防观点而言，数值计算、机器计算实为现代立国不可或缺之一项学问。而我国现尚无认识之因而研究者。而我大学之数学课程内容，大致仍抽象而忽视具体；数值计算往往为不了解者以‘容易’二字抹之。因之，毕业之学生，座谈几无一不知，实算则茫无一策。”

在这封信的附录中，华罗庚提到弹道、投弹、测向、统计、气象等都需要机器计算与数值计算。当时电子计算机尚未问世，计算数学也没有真正发展起来，华罗庚对数值计算的敏感和重视可以说是很有前瞻性。

中华人民共和国成立后不久，1950年6月，政务院即批准成立中国科学院数学研究所筹备处，1952年正式建所，华罗庚为首任所长。他多方网罗人才，生气勃勃，工作进展神速，先成立数论组（华罗庚、越民义、王元、许孔时、吴方、魏道政）和微分方程组（吴新谋、秦元勋、王光寅、丁夏畦、邱佩璋），后成立代数组（华罗庚、万哲先）、拓扑组（吴文俊、张素诚、孙以丰）、泛函分析组（关肇直、田方增、冯康）、数理逻辑组（胡世华）、概率统计组（王寿仁）、力学组（庄逢甘、林鸿荪）、计算机研制组（闵乃大、吴几康、夏培肃）。

华罗庚在数学研究所全面工作方针的报告中，首次完整地指出了计算数学的任务：“计算数学是一门在中国被忽视了的科学，但它在整个科学中的地位是不可少的，它是为其他各部门需要冗长计算的科学尽服务功能的一门学问。……我们必须想尽方法来培养和发展它。我们希望在三五年内能有计算数学所需要配备的各种机器，能有善于操纵了解其结构的人才。”

1953年3月，中国科学院向苏联派出了由钱三强任团长，成员包括华罗庚、赵九章等人在内的26人访苏代表团，代表团的主要任务是考察学习苏联的科学发展。回国后，华罗庚完成《对苏联数学研究工作的认识》一文，其中详细介绍了苏联计算数学的发展。计算数学是苏联数学发展的生长点，这门学科的显著特点是不仅在理论上意义重大，对国家工业的发展也有很大的促进作用。1953年10月，在中国科学院召开的所长会议上，华罗庚认为发展计算数学已经十分迫切，他提出了成立一个研究小组，专门研究计算数学。

华罗庚对计算数学的深刻认识，尤其是中华人民共和国成立以后的执着，很可能源于他在美国普林斯顿大学的一段经历。1947年，华罗庚赴普林斯顿大学进修，当时普林斯顿高等研究院的冯·诺依曼是制造原子弹的顾问，前面提过他是大科学家。在对原子核反应过程的研究中，要对一个反应的传播做出“是”或“否”的回答。解决这一问题通常需要通过几十亿次的数学运算和逻辑指令，美国洛斯阿拉莫斯国家实验室为此聘用了100多名计算员，利用台式计算机从早计算到晚，还是远远不能满足需要。无穷无尽的数字和逻辑指令如同无垠的沙漠一样把人的智慧和精力吸尽。看到实际工作对计算的强烈需求，冯·诺依曼迅速决定投身到计算机研制者的行列。在计算机设计方面，他提出的计算器、逻辑控制装置、存储器、输入和输出五大部分，组成了现代计算机的主要框架；在数字计算方面，他提出的二进制思想、程序内存思想，奠定了当今数字运算的基本法则；在计算数学方面，他提出的稳定性理论、蒙特卡罗算法都是写入教科书的经典概念。

特别是，冯·诺依曼确实把计算数学应用到国防、航空等重要应用领域，让华罗庚深受触动。

再往前一点说，华罗庚对计算数学的重视，可能和维纳20世纪30年代访问清华大学有关。维纳不仅是控制论的开创者，而且在信息科学方面也是一个重要奠基人。维纳访问清华大学时，华罗庚刚刚出道，在交往过程中，维纳不仅对他很欣赏，而且在他出国留学等方面都给予了关键性的帮助。维纳对信息科学的巨大贡献，想必对华罗庚有一定的影响。1958年，中国科学技术大学应用数学和计算技术系成立，华罗庚担任首届系主任，在给中国科大学生讲微积分正题之前，总要专门讲授二进制计算、误差理论、拉格朗日插值公式、牛顿插值公式这些基础算法的构造原理。由此可见，他对计算机技术、计算数学的精髓“算法”都有深刻的认识。

1956年夏天，中国科学院计算技术研究所筹备委员会成立，华罗庚任主任。2006年纪念中国科学院计算技术研究所建所50周年时，曾担任计算所办公室主任的何绍宗回忆道：

1956年6月19日，华罗庚主持召开了计算技术研究所筹备委员会第一次会议，科学院副秘书长杜润生、数理化学部副主任恽子强出席了会议。这次会议从组织上落实了规划文件确定的“先集中，后分散”的原则，由中国科学院、总参三部、二机部、高等院校现有的计算技术方面的专家组成筹委会，对外称中国科学院计算技术研究所筹备委员会。筹委会主任由华罗庚兼任，何津、王正、阎沛霖兼任副主任；我任筹委会办公室主任，总参三部邓明德中校和二机部孙润五处长任副主任。宣布了将近代物理所计算机组的夏培肃、吴几康、范新弼、王庭梁、梁吟藻、张玉生、曹酉申、李龙、安建勋等14人和数学所计算数学组的闵乃大、王树林、甄学礼、徐国荣、崔蕴中、石钟慈、黄启晋等9人划归计算所建制。这次会议还讨论了筹建计划中的有关问题，并决定租用西苑大旅社（西苑饭店的前身）三号楼作为办公和实验室的临时地点等。科学规划会议后，我被留下来筹备计算所。当时办公室只有我一个人，仍在西郊宾馆搞规划的地点办公。第二个调来工作的是政法学院的卫振盛同志（任人事科长）；第三个调来的是公安部的陈仁庆同志（任秘书）。9月份，办公室副主任、总参三部的邓明德中校到职。后陆续通过选调、合作、进修、分配大学生等途径，至年底在西苑大旅社集中了314人。其中研究技术人员185人，占一半以上。技术力量集中以后，组建了三个研究室，一室为计算机整机研究室，闵乃大任主任；二室为元件研究室，王正任主任；三室为计算数学室，徐献瑜任主任。计算机方面，逻辑设计组夏培肃负责，运算控制组吴几康负责，存储器组范新弼、黄玉珩负责，外部设备组孙肃负责，电源组莫根生负责；蒋士騛负责半导体新电路的研究工作，张克明、安其春和后来调入的冯康同志，协助徐献瑜负责计算数学方面的工作。

计算技术研究所第三研究室（以下简称“三室”）的成立，标志着中国计算数学有了专门的研究机构。这个机构后来发展成为中国科学院计算中心，最后演变为今天的中国科学院计算数学与科学工程计算研究所。

机构有了，计划有了，找到将才就成为主要矛盾了。毕竟当时华罗庚的主要兴趣是在数论、复变函数等纯数学领域，他需要找到能挑起计算数学大梁的将才！

1957年初，一个年轻人被华罗庚由数学研究所调入计算技术研究所三室。他后来成了中国计算数学的领军人物，在计算数学的多个研究领域享誉全球，也影响了几代中国计算数学家。

他就是中国计算数学之父——冯康。

冯康的故事富有传奇色彩，包含了太多中国人的隐忍与坚强，也包含了太多中国文化的博大与精深。或许这就是冯康带给人们的复杂情感，以至于他原本成就于一个英雄辈出的年代，却没有被时代及时赋予英雄的光环。但历史不会忘记那个火红的年代，不会忘记那些应该被载入史册的英雄和他们精彩的故事。

《冯康传》

作者：宁肯 汤涛

出版社：浙江教育出版社

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